Data Structures (H) @ Fudan University, fall 2019.
题目简介
引用
数组 $a$ 有 $n$ 个元素 $a[1]$, $a[2]$, …, $a[n]$.
数组有序，即 $a[1] < a[2] < a[3] < … < a[n−1] < a[n]$.
现在由于故障，进行了至多 $k$ 次「交换」，即 $a[x]$ 和 $a[y]$ 内的元素互换了（$1\le x\le y\le n$），然而并没有日志记录这些交换。
我们可以通过两个操作尝试把数组还原（重新有序）：
- $\textrm{ask}(p,q)$，表示询问 $a[p]$ 和 $a[q]$ 哪个元素比较大（$p\ne q$）
- $\textrm{swap}(p,q)$，表示交换 $a[p]$ 和 $a[q]$ 中的元素
显然，先进行足够的 $\textrm{ask}$ 操作，再进行足够的 $\textrm{swap}$ 操作是最佳策略之一。
评分标准
引用
每个数据的得分由 Solver 执行 $\textrm{ask}$ 的次数决定，执行 $\textrm{ask}$ 的次数越少得分越高。
出现以下情况会导致程序得分为零分：
- 经过所有 Solver 给出的 $\textrm{swap}$ 操作后，数组并没有恢复有序；
- $\textrm{swap}$ 操作数超过 $k$（$k$ 是误交换的次数）；
- 输出数据出现格式错误，如数字范围不对、输出无关内容等导致 Judger 报错或无法正常运行；
- 交互过程总运行时间超过 10 秒；
- 程序进行 $\textrm{ask}$ 操作次数超过 500,000 次。
限制
引用
规模：$n\le 10000$, $k\le 100$
数据分布：
- 50% - $k$ 次误交换纯随机
- 50% - $k$ 次误交换以某些方法构造
时间限制：10 秒（C++ 50,000 次 $\textrm{ask}$ 交互耗时约 1 秒）
不允许使用任何第三方库和任何公开代码。对于 STL 库，只允许使用以下给定的库：
assert.h, ctype.h, limits.h, math.h, stdbool.h, stdint.h, stdio.h, stdlib.h, string.h, time.hiostream, string, limits, utility, random, ratio, tuple
解题报告
由于无从得知「构造数据」的构造方式（比如完全可以直接用某些随机数据当构造数据，所以本质是一回事），因此我提交的 solver_random.cpp（对应随机）和 solver_special.cpp（对应构造）的代码完全相同。
每段代码的具体作用在注释里其实已经有解释，报告里主要讲一下思路。
完整代码在第 5 节，其中附有「字多不看」版的总体思路概述。
1 尽量只对错误数据排序
当误交换的次数 $k$ 远小于数组规模 $n$ 时，数组基本有序，错误数据一般是离散的。例如 $k=2$, $n=20$ 时原数组可能是这样：
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| 1 2 3 18 5 6 7 8 9 14 11 12 13 10 15 16 17 4 19 20
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因此我们只需找到错误数据 18, 14, 10, 4，仅对它们所在的 4 个位置进行一次排序即可还原数组，而无需对整个数组进行排序。
但这只是理想情况，事实上我们仅能知道任意两个数之间的大小关系。在这种情况下如何仅仅确定错误数据的位置，同时又保证比较次数尽量少，很遗憾，我并没能找到好的方法。
于是退而求其次，我们使用以下方式确定「可能错误」的数据的位置：
首先遍历一遍数组，得到所有相邻两个数之间的大小关系。当存在相邻两个数使得前者大于后者时，则这两个数中至少有一个是错误的。例如：
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| 1 < 2 < 6 > 4 < 5 > 3 < 7
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可见，其中 6 和 3 就是错误数据。但由于我们并不能判断 $>$ 号左右两个数具体哪一个是错误的，因此这里就直接将这两个数都标记为「可能错误」的数据，也就是 6, 4 和 5, 3。
在代码实现中，先仅保存较小的数的位置，我们称其为一个 breakpoint。
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| // A breakpoint is set if the current number is smaller than its predecessor.
int InitBreakpoint(int* breakpoint, int* array) {
int size = 0;
for (int i = 2; i <= array_size; ++i) {
if (!Compare(array[i - 1], array[i])) breakpoint[size++] = i;
}
return size;
}
|
这里函数 Compare 的返回值即前者是否小于后者。然后我们将这些 breakpoint 及它们前面的位置设置为 fault，表示「可能错误」的数据的位置。
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| // Breakpoints and their predecessors are considered faulty.
int InitFault(int* fault, int* breakpoint, int breakpoint_size) {
int size = 0;
for (int i = 0; i < breakpoint_size; ++i) {
if (!size || fault[size - 1] != breakpoint[i] - 1) {
fault[size++] = breakpoint[i] - 1;
}
fault[size++] = breakpoint[i];
}
return size;
}
|
之后我们对 array 中 fault 所标记的位置进行归并排序。理论上，如果所有错误数据都是离散的（互不相邻），则一次操作即可将原数组还原。事实上，当 $k$ 很小时，这往往是对的。
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| void Merge(int* array, int* pos_array, int low, int mid, int high) {
int size = high - low + 1;
int* temp = new int[size];
int left = low;
int right = mid;
int i = 0;
while (left < mid && right < high) {
temp[i++] = Compare(array[pos_array[left]], array[pos_array[right]]) ?
array[pos_array[left++]] :
array[pos_array[right++]];
}
while (left < mid) temp[i++] = array[pos_array[left++]];
while (right < high) temp[i++] = array[pos_array[right++]];
for (i = low; i < high; ++i) array[pos_array[i]] = temp[i - low];
delete[] temp;
}
// Merge sort an array at the selected positions given in 'pos_array'.
void MergeSort(int* array, int* pos_array, int low, int high) {
if (low >= high - 1) return;
int mid = low + ((high - low) >> 1);
MergeSort(array, pos_array, low, mid);
MergeSort(array, pos_array, mid, high);
Merge(array, pos_array, low, mid, high);
}
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2 错误数据不完全离散的解决办法
然而，我们并不能确保错误数据是完全离散的。一旦存在两个错误数据是相邻的，上述方案就失效了。例如：
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| 1 < 2 < 3 < 6 > 4 < 5 < 7
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上述算法认为，「可能错误」的数据仅有 6, 4，于是排序后的数组为：
可见并没有正确排序，因此我们需要对这个算法做一些修正。
本来我想了一些修正方案，但最后发现——其实只要反复进行上述操作就可以了。
好吧。
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| int* breakpoint = new int[array_size + 1];
int breakpoint_size = InitBreakpoint(breakpoint, array);
int* fault = new int[array_size + 1];
int fault_size = 0;
while (breakpoint_size) {
fault_size = InitFault(fault, breakpoint, breakpoint_size);
MergeSort(array, fault, 0, fault_size);
breakpoint_size = InitBreakpoint(breakpoint, array);
}
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3 一些优化
核心算法到此结束，剩下就是一些优化了。
3.1 缓存机制
为了避免重复进行 $\textrm{ask}$ 操作，有必要建立一套缓存机制，也就是将询问过的结果保存在一个缓存矩阵里，此后如果重复询问就直接返回缓存中的结果。
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| // 'compare_matrix' is a cache for ask(), i.e. compare_matrix[i][j] stores the
// result of ask(i, j). When i < j, ask(i, j) returns 1, otherwise return 0.
static int** compare_matrix = nullptr;
void Insert(int index1, int index2, int result) {
compare_matrix[index1][index2] = result;
compare_matrix[index2][index1] = !result;
}
bool Compare(int index1, int index2) {
int result = compare_matrix[index1][index2];
if (result != -1) return result; // a cache hit occurs
cout << index1 << ' ' << index2 << '\n';
cin >> result; // result = ask(index1, index2)
Insert(index1, index2, result);
return result;
}
|
其中 compare_matrix 就是缓存矩阵，初始值为全 $-1$。
3.1.1 对缓存的优化
因为我们只关心询问次数，而不关心时间复杂度，所以这里采用了用时间换询问次数的暴力优化。为了防止 TLE，设定只有当数组规模 $n$ 不超过 $5000$ 时才进行下述的第 1 个优化。
- 对于未命中缓存的询问 $\textrm{ask}(x,y)$，固定 $x$，遍历缓存中所有 $\textrm{ask}(x,z)$，如果 $\textrm{ask}(x,z) = \textrm{ask}(z,y) = 1$，则 $ask(x,y) = 1$，加入缓存，不询问（均为 $0$ 的情况同理，下同）。
- 对于询问 $\textrm{ask}(x,y)$ 所得结果，固定 $y$，遍历缓存中所有 $\textrm{ask}(y,z)$，如果 $\textrm{ask}(y,z) = \textrm{ask}(x,y) = 1$，则 $\textrm{ask}(x,z) = 1$，加入缓存；固定 $x$，遍历缓存中所有 $\textrm{ask}(z,x)$，如果 $\textrm{ask}(z,x) = \textrm{ask}(x,y) = 1$，则 $\textrm{ask}(z,y) = 1$，加入缓存。
- 初次遍历时不进行上述优化，先检测数组是否已经有序，是则直接下一步，否则进行优化，以防止 TLE。这是因为对于已经有序的数组，整个缓存矩阵都将被填满。
这些优化本质上就是利用了 $<$ 和 $>$ 的传递性。可惜 CPU 不能做复杂的并行计算，否则直接做矩阵运算效果会更好。
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| // 'compare_matrix' is a cache for ask(), i.e. compare_matrix[i][j] stores the
// result of ask(i, j). When i < j, ask(i, j) returns 1, otherwise return 0.
static int** compare_matrix = nullptr;
// available columns for each row in compare_matrix
static int** row_col = nullptr;
static int* row_col_size = nullptr;
// available rows for each column in compare_matrix
static int** col_row = nullptr;
static int* col_row_size = nullptr;
inline void InsertRowCol(int index1, int index2) {
row_col[index1][row_col_size[index1]++] = index2;
}
inline void InsertColRow(int index1, int index2) {
col_row[index1][col_row_size[index1]++] = index2;
}
void Insert(int index1, int index2, int result) {
if (compare_matrix[index1][index2] != -1) return;
InsertRowCol(index1, index2);
InsertRowCol(index2, index1);
InsertColRow(index1, index2);
InsertColRow(index2, index1);
compare_matrix[index1][index2] = result;
compare_matrix[index2][index1] = !result;
}
bool Compare(int index1,
int index2,
bool optimize_only = false,
bool easy_compare = false) {
int result = compare_matrix[index1][index2];
if (result != -1 && !optimize_only) return result; // a cache hit occurs
if (!big_data && !easy_compare) {
for (int i = 0; i < row_col_size[index1]; ++i) {
int index3 = row_col[index1][i];
int result_first = compare_matrix[index1][index3];
int result_second = compare_matrix[index3][index2];
if (result_first != -1 && result_first == result_second) {
// If x < y and y < z, then x < z.
Insert(index1, index2, result_first);
return result_first;
}
}
}
if (!optimize_only) {
cout << index1 << ' ' << index2 << '\n';
cin >> result; // result = ask(index1, index2)
Insert(index1, index2, result);
}
if (!easy_compare) {
for (int i = 0; i < row_col_size[index2]; ++i) {
int index3 = row_col[index2][i];
if (compare_matrix[index2][index3] == result)
Insert(index1, index3, result);
}
for (int i = 0; i < col_row_size[index1]; ++i) {
int index3 = col_row[index1][i];
if (compare_matrix[index3][index1] == result)
Insert(index3, index2, result);
}
}
return result;
}
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其中参数 optimize_only 表示是否只优化不询问，参数 easy_compare 表示是否只询问不优化。
3.2 特殊情况处理
3.2.1 逆序数组
当数组初次遍历所得 breakpoint 个数超过 $n/2 + 1$ 时，将数组逆序。如此 breakpoint 个数总归可以变少，从而减少询问次数。最好情况下如果原数组就是逆序数组，询问次数就是 $n-1$。
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| int* breakpoint = new int[array_size + 1];
int breakpoint_size = InitBreakpoint(breakpoint, array, false, true);
if (breakpoint_size > (array_size >> 1) + 1) {
Reverse(array, 1, array_size + 1); // to reduce 'breakpoint_size'
breakpoint_size = InitBreakpoint(breakpoint, array, false, true);
}
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其中函数 Reverse 就是将数组逆序。
3.2.2 小规模乱序数组
当 $n$ 很小但 $k$ 很大（接近 $n$）时，数组几乎完全乱序，此时上述算法的询问次数甚至比直接归并排序还多。
这里设定当初次遍历（之前先进行 3.2.1 节的操作）所得 breakpoint 的个数超过 $n/3$ 时，直接进行归并排序。
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| if (breakpoint_size > array_size / 3) chaos = true;
if (breakpoint_size) InitBreakpoint(breakpoint, array, true);
int* fault = new int[array_size + 1];
int fault_size = 0;
if (!chaos) {
while (breakpoint_size) {
fault_size = InitFault(fault, breakpoint, breakpoint_size);
MergeSort(array, fault, 0, fault_size);
breakpoint_size = InitBreakpoint(breakpoint, array);
}
} else {
int* all_pos = new int[array_size + 1];
for (int i = 1; i <= array_size; ++i) all_pos[i] = i;
MergeSort(array, all_pos, 1, array_size + 1);
delete[] all_pos;
}
cout << "0 0" << '\n'; // end of ask()
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4 其他琐碎的解释
算法主体和优化讲完了，剩下就是一些 trivial 的代码解释。
4.1 如何统计交换次数
先生成一个表示数组索引的数组 array，之后对这个索引数组进行排序（排序时根据 $\textrm{ask}(\textrm{array}[i],\textrm{array}[j])$ 的结果决定 $i$ 和 $j$ 哪个在前面），最后会得到一个「乱序」的索引数组，当然实际上这些索引所对应的原数组已经有序了。例如：
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| 1 2 3 4 5 // the index array
1 3 5 2 4 // the original array
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| // After sorting the index array
1 4 2 5 3 // the index array
1 2 3 4 5 // the original array
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| int* array = new int[array_size + 1];
for (int i = 1; i <= array_size; ++i) array[i] = i;
// ...
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然后我们将这个「乱序」的索引数组还原成有序，排序期间保存所做的所有交换。可见，这些交换就是我们需要的 $\textrm{swap}$ 操作，且总次数一定不会超过 $k$。
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| auto swaps = new pair<int, int>[kMaxSize];
int swap_count = 0;
for (int i = 1; i <= array_size; ++i) {
while (array[i] != i) {
swaps[swap_count++] = make_pair(array[i], array[array[i]]);
Swap(array[i], array[array[i]]);
}
}
cout << swap_count << '\n';
for (int i = 0; i < swap_count; ++i)
cout << swaps[i].first << ' ' << swaps[i].second << '\n';
int result;
cin >> result; // as the Judger requires
|
其中 kMaxSize 就只是个大常数，函数 Swap 就是交换两个数，result 是 Judger 要求读入的总询问次数。
4.2 其他之前未提及的代码
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| compare_matrix = new int*[array_size + 1];
row_col = new int*[array_size + 1];
col_row = new int*[array_size + 1];
row_col_size = new int[array_size + 1];
col_row_size = new int[array_size + 1];
for (int i = 0; i <= array_size; ++i) {
compare_matrix[i] = new int[array_size + 1];
for (int j = 0; j <= array_size; ++j)
compare_matrix[i][j] = -1; // -1 as unset
row_col[i] = new int[array_size + 1];
col_row[i] = new int[array_size + 1];
row_col_size[i] = 0;
col_row_size[i] = 0;
}
// ...
for (int i = 0; i <= array_size; ++i) delete[] compare_matrix[i];
delete[] swaps;
delete[] fault;
delete[] breakpoint;
delete[] col_row_size;
delete[] row_col_size;
delete[] col_row;
delete[] row_col;
delete[] compare_matrix;
delete[] array;
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前半段就单纯初始化，后半段就单纯释放内存。
5 完整代码
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| #include <iostream>
#include <utility>
using std::cin;
using std::cout;
using std::make_pair;
using std::pair;
// 'kMaxSize' is the capacity of the array 'swaps' (should be larger than 100 as
// k <= 100, where k is the maximum count of swaps)
static const int kMaxSize = 233;
// If the size of an array is larger than 'kThreshold', it'll be treated as a
// large array, and therefore different methods will be applied.
static const int kThreshold = 5000;
// 'compare_matrix' is a cache for ask(), i.e. compare_matrix[i][j] stores the
// result of ask(i, j). When i < j, ask(i, j) returns 1, otherwise return 0.
static int** compare_matrix = nullptr;
// available columns for each row in compare_matrix
static int** row_col = nullptr;
static int* row_col_size = nullptr;
// available rows for each column in compare_matrix
static int** col_row = nullptr;
static int* col_row_size = nullptr;
static int array_size = 0; // the size of the array
static bool big_data = false; // true if the array is a large array
static bool chaos = false; // true if the array is too disordered
inline void Swap(int& x1, int& x2) {
int temp = x1;
x1 = x2;
x2 = temp;
}
void Reverse(int* array, int begin, int end) {
int half_len = (end - begin) >> 1;
for (int i = 0; i < half_len; ++i)
Swap(array[begin + i], array[end - i - 1]);
}
void Print(int* array, int start, int end) {
for (int i = start; i < end; ++i) cout << array[i] << ' ';
cout << '\n';
}
inline void InsertRowCol(int index1, int index2) {
row_col[index1][row_col_size[index1]++] = index2;
}
inline void InsertColRow(int index1, int index2) {
col_row[index1][col_row_size[index1]++] = index2;
}
void Insert(int index1, int index2, int result) {
if (compare_matrix[index1][index2] != -1) return;
InsertRowCol(index1, index2);
InsertRowCol(index2, index1);
InsertColRow(index1, index2);
InsertColRow(index2, index1);
compare_matrix[index1][index2] = result;
compare_matrix[index2][index1] = !result;
}
bool Compare(int index1,
int index2,
bool optimize_only = false,
bool easy_compare = false) {
int result = compare_matrix[index1][index2];
if (result != -1 && !optimize_only) return result; // a cache hit occurs
if (!big_data && !easy_compare) {
for (int i = 0; i < row_col_size[index1]; ++i) {
int index3 = row_col[index1][i];
int result_first = compare_matrix[index1][index3];
int result_second = compare_matrix[index3][index2];
if (result_first != -1 && result_first == result_second) {
// If x < y and y < z, then x < z.
Insert(index1, index2, result_first);
return result_first;
}
}
}
if (!optimize_only) {
cout << index1 << ' ' << index2 << '\n';
cin >> result; // result = ask(index1, index2)
Insert(index1, index2, result);
}
if (!easy_compare) {
for (int i = 0; i < row_col_size[index2]; ++i) {
int index3 = row_col[index2][i];
if (compare_matrix[index2][index3] == result)
Insert(index1, index3, result);
}
for (int i = 0; i < col_row_size[index1]; ++i) {
int index3 = col_row[index1][i];
if (compare_matrix[index3][index1] == result)
Insert(index3, index2, result);
}
}
return result;
}
void Merge(int* array, int* pos_array, int low, int mid, int high) {
int size = high - low + 1;
int* temp = new int[size];
int left = low;
int right = mid;
int i = 0;
while (left < mid && right < high) {
temp[i++] = Compare(array[pos_array[left]], array[pos_array[right]]) ?
array[pos_array[left++]] :
array[pos_array[right++]];
}
while (left < mid) temp[i++] = array[pos_array[left++]];
while (right < high) temp[i++] = array[pos_array[right++]];
for (i = low; i < high; ++i) array[pos_array[i]] = temp[i - low];
delete[] temp;
}
// Merge sort an array at the selected positions given in 'pos_array'.
void MergeSort(int* array, int* pos_array, int low, int high) {
if (low >= high - 1) return;
int mid = low + ((high - low) >> 1);
MergeSort(array, pos_array, low, mid);
MergeSort(array, pos_array, mid, high);
Merge(array, pos_array, low, mid, high);
}
// A breakpoint is set if the current number is smaller than its predecessor.
int InitBreakpoint(int* breakpoint,
int* array,
bool optimize_only = false,
bool easy_compare = false) {
int size = 0;
for (int i = 2; i <= array_size; ++i) {
if (!Compare(array[i - 1], array[i], optimize_only, easy_compare))
breakpoint[size++] = i;
}
return size;
}
// Breakpoints and their predecessors are considered faulty.
int InitFault(int* fault, int* breakpoint, int breakpoint_size) {
int size = 0;
for (int i = 0; i < breakpoint_size; ++i) {
if (!size || fault[size - 1] != breakpoint[i] - 1) {
fault[size++] = breakpoint[i] - 1;
}
fault[size++] = breakpoint[i];
}
return size;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin >> array_size;
if (array_size > kThreshold) big_data = true;
int* array = new int[array_size + 1];
for (int i = 1; i <= array_size; ++i) array[i] = i;
compare_matrix = new int*[array_size + 1];
row_col = new int*[array_size + 1];
col_row = new int*[array_size + 1];
row_col_size = new int[array_size + 1];
col_row_size = new int[array_size + 1];
for (int i = 0; i <= array_size; ++i) {
compare_matrix[i] = new int[array_size + 1];
for (int j = 0; j <= array_size; ++j)
compare_matrix[i][j] = -1; // -1 as unset
row_col[i] = new int[array_size + 1];
col_row[i] = new int[array_size + 1];
row_col_size[i] = 0;
col_row_size[i] = 0;
}
int* breakpoint = new int[array_size + 1];
int breakpoint_size = InitBreakpoint(breakpoint, array, false, true);
if (breakpoint_size > (array_size >> 1) + 1) {
Reverse(array, 1, array_size + 1); // to reduce 'breakpoint_size'
breakpoint_size = InitBreakpoint(breakpoint, array, false, true);
}
if (breakpoint_size > array_size / 3) chaos = true;
if (breakpoint_size) InitBreakpoint(breakpoint, array, true);
int* fault = new int[array_size + 1];
int fault_size = 0;
if (!chaos) {
while (breakpoint_size) {
fault_size = InitFault(fault, breakpoint, breakpoint_size);
MergeSort(array, fault, 0, fault_size);
breakpoint_size = InitBreakpoint(breakpoint, array);
}
} else {
int* all_pos = new int[array_size + 1];
for (int i = 1; i <= array_size; ++i) all_pos[i] = i;
MergeSort(array, all_pos, 1, array_size + 1);
delete[] all_pos;
}
cout << "0 0" << '\n'; // end of ask()
auto swaps = new pair<int, int>[kMaxSize];
int swap_count = 0;
for (int i = 1; i <= array_size; ++i) {
while (array[i] != i) {
swaps[swap_count++] = make_pair(array[i], array[array[i]]);
Swap(array[i], array[array[i]]);
}
}
cout << swap_count << '\n';
for (int i = 0; i < swap_count; ++i)
cout << swaps[i].first << ' ' << swaps[i].second << '\n';
int result;
cin >> result; // as the Judger requires
for (int i = 0; i <= array_size; ++i) delete[] compare_matrix[i];
delete[] swaps;
delete[] fault;
delete[] breakpoint;
delete[] col_row_size;
delete[] row_col_size;
delete[] col_row;
delete[] row_col;
delete[] compare_matrix;
delete[] array;
}
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5.1 总体思路概述
字多不看，也行。
- 生成一个表示数组索引的数组
array，之后对这个索引数组进行排序（详见 4.1 节）。 - 初始化一个缓存矩阵
compare_matrix，保存所有询问过的 $\textrm{ask}$ 结果（详见 3.1 节）。每次询问前先扫描一遍缓存，看看能不能根据现有的缓存推导出当前 $\textrm{ask}$ 的结果。询问后再扫描一遍缓存，把能通过这次 $\textrm{ask}$ 的结果推导出的结果缓存起来（详见 3.1.1 节）。 - 遍历询问一遍数组，当发现存在相邻两个数使得前者大于后者时，将较小的数保存在数组
breakpoint 中。 - 一些优化，当
breakpoint 的个数超过 $n/2 + 1$ 时（其中 $n$ 为数组规模），将数组逆序。此后当 breakpoint 的个数超过 $n/3$ 时，直接进行归并排序（详见 3.2 节）。 - 如果
breakpoint 的个数为 $0$，则直接跳到操作 9（数组已经有序），否则循环执行操作 5 ~ 8。 - 通过数组
breakpoint 生成数组 fault，其中保存了所有 breakpoint 以及它们的前一个位置，表示「可能错误」的数据位置。 - 对
array 中 fault 所标记的位置进行归并排序（以上详见 1 节）。 - 重复操作 3，检查数组是否有序。
- 询问结束，开始交换流程。将「乱序」的索引数组还原成有序，排序期间保存所做的所有交换。最后输出这些交换，作为所需的 $\textrm{swap}$ 操作（详见 4.1 节）。
6 性能分析
6.1 算法优势
- 不依赖随机数，询问次数稳定，耗时稳定。
- 对有序数组和完全逆序数组只需 $n-1$ 次询问。
- 对于绝大多数 $k\ll n$ 的随机数据，有很低的询问次数。通常情况下，询问复杂度大约在 $\mathcal{O}(n + 4k\log(4k) - 6k)$。
- 对于 $k\approx n$ 的数据，最坏情况下（当 $k=n$ 时）询问复杂度也还在 $\mathcal{O}(n\log n - n)$。
6.2 算法劣势
- 对于基本有序数组，连续的有序段越长，时间复杂度越高（主要在建立缓存时）。
